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1. 行内公式

爱因斯坦的质能方程：$E = mc^2$ 勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$ 欧拉公式：$e^{i\pi} + 1 = 0$

2. 块级公式

牛顿第二定律：

$$F = ma$$

麦克斯韦方程组：

$$\begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{aligned}$$

3. 积分与求和

高斯定理：

$$\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$

傅里叶变换：

$$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx$$

黎曼ζ函数：

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$$

4. 极限与导数

极限定义：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

导数公式：

$$\frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{x} f(t) \, dt \right) = f(x)$$

5. 矩阵与行列式

2×2 矩阵：

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

行列式：

$$\det(A) = ad - bc$$

3×3 矩阵：

$$B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

6. 多行公式

分段函数：

$$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{if } x \geq 0 \\ -x^2, & \text{if } x < 0 \end{cases}$$

多行对齐：

$$\begin{aligned} (a + b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\ (a - b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 \\ a^2 - b^2 &= (a - b)(a + b) \end{aligned}$$

7. 复杂公式

广义相对论场方程：

$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$

薛定谔方程：

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}, t) \right] \Psi(\mathbf{r}, t)$$

8. 特殊符号

希腊字母：$\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, \zeta, \eta, \theta$ 关系符：$\leq, \geq, \neq, \approx, \equiv, \propto$ 箭头：$\rightarrow, \leftarrow, \Rightarrow, \Leftrightarrow$ 集合：$\cup, \cap, \subset, \supset, \emptyset, \mathbb{N}, \mathbb{R}$